婚姻関係にない未成年の子供の父親に対して、養育費の請求をすることはできますか。

認知がなされていれば、請求できます。認知によって、子の生まれたときに遡って法律上も親子関係が生じることになるからです。
認知がなされていない場合は、請求できません。事実上親子関係があったとしても、認知がなければ法律上は親子関係であると扱われず、お互いの扶養義務も法律上ないからです。