髪の毛を染めたところ、会社から服務規律違反だから改めるように指示されました。

就業規則でこのような服務規律が定められているとしても、必要な限度を超えた規制は無効となる場合があります。
使用者には、職場の規律を守るために服務規律を定める権限がありますが、他方で労働者にも人格的利益があるため、使用者が労働者の自由を無制限に制約することはできないからです。