名誉を毀損されたので、相手を処罰してほしいのですが、どうしたらいいですか。

警察等の捜査機関に刑事告訴することができます。
刑法の名誉毀損罪は、他人の社会的評価（名誉）を傷つけるような具体的事実を不特定または多数の人に公にした場合に成立します。
ただし、他人の名誉を傷つける行為であっても、名誉毀損に当たる事実が公共の利害に関する事実で、目的に公益性があり、真実であると証明された場合は、犯罪は成立しません。